难度:1;预计完成时间:30分钟

[info] LaTeX使用

打印下面的数学公式。尝试编译出来。

现在写出式子an=an1+an2a_n=a_{n-1}+a_{n-2},并且有a0=0,a1=1a_0=0,a_1=1

则有F(x)=xF(x)+x2F(x)a0x+a1x+a0F(x)=xF(x)+x^2F(x)-a_0x+a_1x+a_0,解得: F(x)=x1xx2F(x)=\frac{x}{1-x-x^2}

这个时候可以拆成:拆的方法就是令分母=0=0,求出来两个解x1,x2x_1,x_2,然后表示成A1x1+B1x2\dfrac{A}{1-x_1}+\dfrac{B}{1-x_2},利用待定系数法求出AABB.因为 Taylor展开,我们可以把这个封闭形式转化成一般形式.

x1xx2=n0xn15((1+52)n(152)n) \frac{x}{1-x-x^2}=\sum_{n\geqslant 0}x^n \frac{1}{\sqrt{5}}\left( \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n \right)

这个时候可以知道an=15((1+52)n(152)n)a_n=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left( \left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n \right)

[info] Markdown的使用

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